Иван Николаевич Анашкин родился 4 апреля 1919 года в селе Желудёво Шиловского района Рязанской области в семье крестьян Елизаветы Ивановны и Николая Трифоновича Анашкиных.
С окончанием в 1935 году средней школы поступил в сельскохозяйственный техникум.
В 1936 году, после окончания первого курса техникума поступил в Рязанское артиллерийское училище, которое окончил в 1938 году.
С 1938 по 1941 годы - командир взвода курсантов Рязанского артиллерийского училища.
С декабря 1941 года по январь 1943 года командир 5-го гвардейского отдельного миномётного дивизиона на Брянском фронте.
С января по октябрь 1943 года начальник штаба 323-го гвардейского миномётного полка на Брянском и Центральном фронтах.
С октября 1943 по май 1944 года старший помощник, затем начальник отдела оперативной группы ГМЧ 1-г оБелорусског офронта.
Во время этого периода службы был награждён орденами Ленина и Александра Невского.
До октября 1946 года командовал 311-м гвардейским миномётным Бобруйско-Берлинским Краснознаменным орденов Кутузова, Богдана Хмельницкого и Александра Невского полком в составеГруппы советских оккупационных войск в Германии.
С октября 1946 по октябрь 1947 год был слушателем Ленинградской высшей офицерской школы.
С октября1947 по февраль 1949 года заместитель командира 134-й гвардейской миномётной бригады в Группе советских оккупационных войск в Германии.
С февраля 1949 года по октябрь 1951 года командир дивизиона курсантов в Рязанском артиллерийском училище.
С октября 1951 года по ноябрь 1955 года слушатель Военной академии имени Фрунзе.
С ноября 1955 года по март 1958 года командир 8-й гвардейской минометной бригады Киевского военного округа.
С марта 1958 года по апрель 1961 года заместитель начальника училища — начальник учебного отдела Рязанского артиллерийского училища.
С августа 1969 года по август 1982 года - начальник управления боевой подготовки и вузов — заместитель командующего ракетными войсками и артиллерией Сухопутных войск.
С 1980 по 1982 год генерал-лейтенант артиллерии Анашкин находился в составе Оперативной группы Министерства обороны СССР.
Многие годы являлся членом редколлегии журнала "Военный вестник".
В феврале 1983 года вышел в отставку в звании генерал-лейтенанта.
В течение многих лет возглавлял объединённый совет ветеранов гвардейских миномётных частей и частей артиллерии РВГК.
Скончался 5 апреля 2005 года в Москве. Похоронен на Николо-Архангельском кладбище.