Борис Дмитриевич Бобров родился 13 ноября 1893 года в г. Сапожок Рязанской губернии (ныне посёлок городского типа в Рязанской области). Окончил 4 класса духовной семинарии в Рязани. В Русской императорской армии сентября 1912 года. В 1914 году окончил Казанское военное училище и назначен младшим офицером роты в 11-й Сибирский стрелковый полк. В составе полка участвовал в Первой мировой войне.
В Красной Армии с 1918 года, участник Гражданской войны.
После войны был старшим преподавателем кафедры общей тактики Военной Академии им. Фрунзе.
В 1938 гожу стал кавалером медали "ХХ лет Рабоче-Крестьянской Красной Армии".
В 1939 году получил званиекомбрига.
В номерах журнала "Военная мысль" 1940 года выходят статьи "Бой стрелковой дивизии в окружении" (№ 4 1940) и "Тактические учения войск" (№ 5 1940).
4 июня 1940 года постановлением Совнаркома СССР № 945 присвоено звание генерал-майора.
В июле 1941 назначен командиром и принимал участие в формировании 9-й Московской стрелковой дивизии народного ополчения.
26 сентября 1941 года дивизия была преобразована в 139-ю стрелковую дивизию.
Ночью 6 октября 1941 года в ходе Вяземской оборонительной операции погиб в бою у д. Волочек Ельнинского р-на Смоленской области. По поводу точной даты смерти имеется несколько противоречивых версий. Точное место захоронения неизвестно.