Алексей Иванович Бобров родился 17 октября 1905 года в селе Заполье Спасского уезда Рязанской губернии (сейчас — Шиловский район Рязанской области).
С 1924 г. заведовал избой-читальней. В 1926 г. по комсомольской путёвке поступил в МГУ. После окончания университета — научный сотрудник Всесоюзного электротехнического института (1930—1934).
Один из руководителей разработки радионавигационной системы "Окунь".
Дважды лауреат Сталинской премии (1946 — за создание аппаратуры для судовождения, 1949 — за разработку нового типа радиоаппаратуры). Награждён орденами Ленина, Трудового Красного Знамени (дважды), Красной Звезды, "Знак Почёта", медалями.
Умер 16 октября 1974 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище города Москвы (колумбарий).