Александр Петрович Аверкин родился 10 февраля 1935 года в деревни Шафторка Сасовского района Рязанской области.
Окончил ремесленное училище, работал слесарем-жестянщиком на ВДНХ.
Служил танкистом в Таманской дивизии.
В 1952—1954 гг. работал баянистом-концертмейстером различных ансамблей. В 1959—1961 гг. учился в Музыкальном училище им. Гнесиных. В 1952—1955 гг. участвовал в семинаре самодеятельных компохиторов при Союзе композиторов СССР.
В 1962—1967 гг. — инструктор Политуправления Московского военного округа. С 1968 г. — член Союза композиторов России. С 1970 г. — художественный руководитель ансамбля Москонцерта «Рождение песни». В 1975 г. окончил дирижёрско-оркестровое отделение Московского института культуры.
Заслуженный деятель искусств России (1994).
Заслуженный деятель искусств мордовской АССР (1976).