Алексей Васильевич Мишин родился 11 августа 1922 года в деревне Некрасово Рязанской губернии (ныне Захаровский район Рязанской области). Русский.
До призыва в армию проживал в Москве, окончил восемь классов школы. В 1940 году Мишин был призван на службу в Рабоче-кретьянскую красную армию. В 1942 году он окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов. С мая 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны.
К концу войны старший лейтенант Алексей Мишин был заместителем командира эскадрильи 657-го штурмового авиаполка 196-й штурмовой авиадивизии 4-го штурмового авиакорпуса 4-й воздушной армии 2-го Белорусского фронта. К тому времени он совершил 96 боевых вылетов на бомбардировку скоплений боевой техники и живой силы противника, его важных объектов, нанеся ему большие потери.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 августа 1945 года за "образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство" старший лейтенант Алексей Мишин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
В 1948 году Мишин уволен в запас.
Проживал и работал в Москве.
Умер 24 декабря 1965 года, похоронен на Востряковском кладбище Москвы.
Был также награждён двумя орденами Красного знамени, орденами Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, рядом медалей.
