Александр Петрович Оськин родился 7 апреля 1920 года в деревне Малое Коровино Рязанской губернии (ныне Захаровский район Рязанской области). Русский.
С 1932 года жил в Москве.
В 1937 году окончил 10 классов школы, в 1939 году — Московский финансово-экономический техникум. Работал налоговым инспектором в Москве.
В армии с октября 1940 года. Служил в танковых войсках в Среднеазиатском военном округе. В 1941 году окончил полковую школу.
В июле-октябре 1941 года — командир танка Т-26 18-го танкового полка (Брянский и Западный фронты). Участвовал в Смоленском сражении и Московской битве. 18 октября 1941 года был тяжело ранен. До января 1942 года находился на излечении в госпитале в Сормово (ныне в черте города Нижний Новгород). Не окончив лечение, уехал в формирующуюся танковую часть, вместе с которой впоследствии прибыл на фронт.
В июле-сентябре 1942 года — радист-стрелок танка Т-34 163-й танковой бригады, в сентябре-октябре 1942 года — радист-стрелок танка Т-34 56-й танковой бригады (Сталинградский фронт). Участвовал в обороне Сталинграда. 29 октября 1942 года был тяжело ранен и контужен во время налёта вражеской авиации и отправлен в тыл.
В 1943 году окончил Полтавское танковое училище (находившееся в эвакуации). С января 1944 года вновь на фронте.
В январе-июне 1944 года — командир танка Т-34-85 5-го отдельного учебного танкового полка (1-й Прибалтийский фронт), в июне-декабре 1944 — командир танка Т-34-85 53-й гвардейской танковой бригады (1-й Украинский фронт). За время войны семь раз горел в танке.
12 августа 1944 года,действуя в составе танковой группы на Сандомирском на подступах к деревне Оглендув (Польша), отразил атаку превосходящих сил противника в составе 11 танков. В бою экипаж Т-34-85А. П. Оськина (механик-водитель А. Стеценко, командир орудия А. Мерхайдаров, радист А. Грушин и заряжающий А. Халычевиз засады уничтожил три новейших немецких танка
"королевский тигр"(T-VIB "Тигр-II") 501-го тяжёлого танкового батальона, а один танк повредил (по другим данным — экипажем А. П. Оськина был уничтожен только один головной танк, а два остальных буквально изрешетили основные силы бригады и части усиления). Это было первое боевое применение немецких тяжёлых танков "Тигр II" на Восточном фронте, которое закончилось полной неудачей для немецких танкистов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года за мужество и героизм, проявленные в боях, гвардии младшему лейтенанту Оськину Александру Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза.
С января 1945 года — слушатель командного факультета Военной Академии бронетанковых и механизированных войск. Из-за последствий контузии в декабре 1945 года был вынужден прекратить обучение. До января 1952 года служил в парке учебных машин Военной Академии бронетанковых и механизированных войск: старшим механиком-водителем, командиром взвода, заместителем командира и командиром роты иностранных танков. Освоил все типы отечественных и несколько типов зарубежных танков того периода.
В 1952 году окончил Ленинградскую высшую офицерскую бронетанковую школу. В 1952—1954 — начальник штаба учебно-паркового батальона обеспечения Военной Академии бронетанковых и механизированных войск. В 1957 году окончил Военной Академии бронетанковых и механизированных войск. Продолжал службу в танковых войсках: командиром танкового батальона (в Южной группе войск, Венгрия) и командиром батальона учебно-боевых танков учебного танкового полка (в Московском военном округе).
В 1964—1969 годах — преподаватель военной кафедры Московского института стали и сплавов. С октября 1971 года подполковник А. П. Оськин — в запасе.
В 1971—1972 годах работал старшим инженером в Московском институте стали и сплавов, в 1972—1986 — военруком в Московском механико-технологическом техникуме пищевой промышленности.
Умер в Москве 21 февраля 2010 года, похоронен на Кузьминском кладбище.
